2026 FKMO Day 2 풀이
4. 다음 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수 $p,q,r,n$의 순서쌍 $(p,q,r,n)$이 존재하지 않음을 보여라.(1) $p,q,r$은 소수이다.(2) $p^n+q^n+r^n=2026(p+q)(q+r)(r+p)$ 풀이. $p\geq q\geq r$로 두자. $p,q,r$이 모두 홀수이면 홀짝성에 의해 모순이다.따라서 $r=2$이다.$$p^n+q^n+2^n=2026(p+q)(p+2)(q+2)$$다시 홀짝성을 보면 $p$와 $q$의 홀짝성이 같아야 하는데, 둘 다 $2$일 수는 없다.그러므로 $p,q$는 둘 다 홀수이다. 만약 $n$이 짝수이면, mod $4$로 보았을 때 모순이 나온다.따라서 $n$은 홀수이다. 이때 $p+q \mid p^n+q^n$이므로 $p+q \mid r^n$이고, 나머지..
2026 FKMO Day 1 풀이
1. 예각삼각형 $ABC$가 주어져 있고, 그 수심을 $H$라 하자. $A,C$에서 대변에 내린 수선의 발을 각각 $D,E$라 하자. 선분 $BE$위의 점 $P(\ne B,E)$를 잡고, 직선 $PH$와 $AC$의 교점을 $Q$라 하자. $\angle BAC$의 이등분선을 $\ell$이라 하자. $H$를 지나고 $\ell$에 평행한 직선이 삼각형 $BDH$와 삼각형 $HDC$의 외접원과 각각 $X(\ne H)$, $Y(\ne H)$에서 만난다. 직선 $PX,QY,\ell$이 한 점에서 만남을 보여라. 풀이. 공원점의 성질에 의해 $\angle HYC=\angle HDC={90}^\circ,\angle HXB=\angle HDB={90}^\circ$이다.또한, 직선 $HYX$는 $\angle BHC$..
2025 FKMO Day 2 풀이
4. $CA>AB$를 만족하는 삼각형 $ABC$가 주어져 있다. 삼각형 $ABC$의 내접원 $\omega$가 세 변 $BC$, $CA$, $AB$와 각각 $D$, $E$, $F$에서 접한다. 변 $BC$의 중점을 $M$이라 하자. $M$을 중심으로 하고 $D$를 지나는 원이 직선 $DE$, $DF$와 각각 $P(\ne D)$, $Q(\ne D)$에서 만난다. 직선 $AP$와 $BC$의 교점을 $N$, 직선 $BP$와 $CA$의 교점을 $L$이라 할 때 세 직선 $EQ$, $FP$, $NL$이 한 점에서 만남을 보여라. 풀이. Lemma. 각 $A$의 이등분선과 직선 $DE$의 교점을 $T$라 할 때, $\angle ATB={90}^\circ$이다.pf. $\angle AIB=\angle EDB$이므..
