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2024 KMO 고등부 2차 풀이 #1. 중심이

$O$ 인 원 위에 서로 다른 세 점

$A$ ,

$B$ ,

$X$ 가 있고 세 점

$A$ ,

$B$ ,

$O$ 는 한 직선 위에 있지 않다. 삼각형

$ABO$ 의 외접원을

$\Omega$ 라 할 때, 선분

$AX$ ,

$BX$ 는 원

$\Omega$ 와 각각 점

$C(\ne A)$ ,

$D(\ne B)$ 에서 만난다. 점

$O$ 가 삼각형

$CXD$ 의 수심임을 보여라. 풀이.

$\angle OCX=\angle ABO=90^\circ - \angle X$ 이므로

$CO\perp DX$ , 마찬가지로

$DO\perp CX$ 입니다.따라서

$O$ 는

$\triangle CXD$ 의 수심입니다.

$\blacksquare$ (참고)

$AB$ 와

$CD$ 가 antiparellel 관계이므로,

$O$ 는

$\triangle ABX$ 의 외심인..

2024 FKMO Day 1 풀이 #1. 양의 홀수

$a,b,c,d$ 에 대하여, 이 중 어느 두 개를 골라도 서로소라고 하자. 양의 정수

$n$ 에 대하여

$f(n)=\left[ \frac{n}{a}\right]+ \left[ \frac{n}{b}\right]+ \left[ \frac{n}{c}\right]+ \left[ \frac{n}{d}\right]$ 이라 할 때, 다음 등식을 증명하여라. (단,

$[x]$ 는

$x$ 를 넘지 않는 가장 큰 정수)

$\sum_{n=1}^{abcd}(-1)^{f(n)}=1$ 풀이. 지수의 기우성이 변하지 않는 범위에서 자유롭게 식 변형을 할 수 있습니다.$$ \sum_{n=1}^{abcd}(-1)^{f(n)} = \sum_{n=1}^{abcd}(-1)^{ \left[ \frac{n}{a}\right]+..

2023 KMO 고등부 2차 풀이 1. 양의 실수 수열

$\{ a_n \}$ 이 다음과 같이 정의된다.

$a_0=1, a_1=3, a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2+2}{a_n}(n\geq 0)$ 모든 음이 아닌 정수

$n$ 에 대해

$a_n$ 은 양의 정수임을 보여라. 풀이. 작은 항들을 계산해보면

$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$ 임을 추측해볼 수 있습니다. 이런 선형 점화식으로 수열

$\{ a_n \}$ 을 정의했을 때 조건식을 만족함을 보이면 충분합니다. 이는 다음과 같은 식 정리로 쉽게 알아낼 수 있습니다.

$\blacksquare$

$\frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=4=\frac{a_{n+3}+a_{n+1}}{a_{n+2}}$ 2. 집합

$A_0, A_1, \cdots, A_{2023}$ 이 다음 ..

2023 FKMO Day 1 풀이 여유가 생기면 풀어보려 했는데, 결국 종강 이후 풀어보게 되었습니다. 1.

$AB 풀이. 나선닮음을 쉽게 생각해볼 수 있다.삼각형$ ABC

$의 외접원과$ ADE

$의 외접원의 교점을$ T

$라 하면,$ \triangle TDB \sim \triangle TEC \sim \triangle TYX

$이다.선분$ DB

$,$ EC

$,$ YX

$의 중점을 각각$ M, N, K

$라 하면, 닮음비에 따라$ \triangle TDM

$,$ \triangle TEN

$,$ \triangle TYK

$도 닮음이다.따라서$ \angle DMT=\angle ENT=\angle YKT

$이며, 이는$ (A, M, N, K, T)

$가 한 원 위에 있음을 뜻한다.이때$ \angle AMP=\angle ANP = 90^\circ

$이므로$ AP$..

2023 FKMO DAY2 풀이 2023년 3월 26일 시행된 2023 FKMO DAY2에 대한 해설이다. 4. 다음 조건을 만족하는 양의 정수

$n$ 을 모두 구하여라. (조건)

$2^n-1$ 은

$7$ 보다 큰 소인수를 갖지 않는다. 풀이. 위 문제를 해결하기 위해서는

$2^n-1$ 꼴의 수가 충분히 큰 소인수를 가진다는 것을 설명해야 한다. 이와 관련된 유명한 성질이 있다. Claim. 소수

$p$ 에 대해

$2^p-1$ 의 소인수는

$pk+1$ 꼴이다.pf.

$2^p-1$ 의 각 소인수

$q$ 에 대한 위수

$r$ 을 생각해 보았을 때,

$2^p-1$ 이

$q$ 로 나누어 떨어지므로 지수인

$p$ 가

$r$ 로 나누어 떨어져야 한다. 따라서

$r$ 은

$1$ 또는

$p$ 이며, 자연스럽게

$r=p$ 임을 알 수 있다. 이때

$2^{q-1}-1$ 또한..

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