#1. 중심이 OO인 원 위에 서로 다른 세 점 AA, BB, XX가 있고 세 점 AA, BB, OO는 한 직선 위에 있지 않다. 삼각형 ABOABO의 외접원을 ΩΩ라 할 때, 선분 AXAX, BXBX는 원 ΩΩ와 각각 점 C(≠A)C(≠A), D(≠B)D(≠B)에서 만난다. 점 OO가 삼각형 CXDCXD의 수심임을 보여라.
풀이.
∠OCX=∠ABO=90∘−∠X∠OCX=∠ABO=90∘−∠X이므로 CO⊥DXCO⊥DX, 마찬가지로 DO⊥CXDO⊥CX입니다.
이때 개구리 수열은 편차가 3의 배수이므로, 개구리 수열의 모든 항은 항상 3k+2꼴입니다. 그러면 직전 부등식에서 세 항이 모두 3k+2꼴이므로, 이웃한 3k+2꼴 정수 사이에 또 다른 3k+2꼴 정수가 있다는 뜻이 되어 모순입니다.
따라서 d는 조건을 만족합니다. ◼
#3.집합 S는 평면 상의 2024개의 점들로 구성되어 있고, 이 점들 중 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않다. 집합 S에 속하는 두 점을 지나는 직선 l이 다음 조건을 만족하면 l을 '약한 균등 직선'이라 하자.
(조건) 직선 l이 평면을 두 개의 부분으로 나눌 때, 한 부분은 S의 원소 중 정확히 1010개의 점을 포함하고 다른 부분은 정확히 1012개를 포함한다. (단, 각 부분은 l 위의 어떤 점도 포함하지 않는다고 하자.)
집합 S의 두 점을 지나는 직선들 중 약한 균등 직선의 개수를 w(S)라 하자. w(S)가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 것을 구하여라.
답.2023
풀이. 편의상 1011=n으로 두겠습니다. 즉 평면 상에 2n+2개의 점이 있으며, 약한 균등 직선은 평면을 각각 n−1개, n+1개의 점으로 분할합니다.
기본적인 아이디어는 직선을 회전시키는 과정에서 중간값 정리를 적용하는 것입니다.(잘 알려진 발상입니다)
다음을 만족하는 S의 원소 X를 나쁜 점이라 부르겠습니다: 임의의 X가 아닌 S의 원소 Y에 대해, 직선 XY는 평면을 정확히 n개의 점으로 분할합니다.
Claim 1.S의 원소 X가 나쁜 점이 아니면, X를 지나는 약한 균등 직선이 2개 이상 존재한다.
pf.X가 나쁜 점이 아니므로, X가 아닌 S의 원소 Y를 잡아 직선 XY가 평면을 n개씩 분할하지 않게 할 수 있습니다.
만약 양쪽 평면의 점 개수가 4개 이상 차이 나면, 이 상태에서 직선을 X를 중심으로 180∘ 회전시키며 직선의 오른쪽 영역에 있는 점의 개수를 살펴봅시다. 이 값은 최대 1씩 변하며, n−2 이하에서 n+2 이상까지 변해야 합니다. 따라서 그 과정에서 점의 개수가 정확히 n−1개인 순간과 n+1개인 순간이 존재합니다. 즉, X를 지나는 약한 균등 직선이 2개 이상 존재합니다.
그렇지 않다면, 현재 직선은 평면을 각각 n−1개, n+1개로 분할하고 있는 상태입니다. 여기서 직선을 조금만 회전시켜 양쪽이 n−1,n+2개로 나뉘도록 해봅시다. 이 상태에서 다음 점을 만날 때까지 계속 회전시켜 봅시다. 이때 양쪽의 점 개수는 (n−2,n+2) 또는 (n−1,n+1)개로 나뉘게 됩니다. 전자의 경우 위 문단의 논리를 그대로 적용할 수 있고, 후자의 경우에는 새로운 약한 균등 직선을 하나 찾은 것입니다. 어떤 경우든 X를 지나는 약할 균등 직선이 2개 이상 존재합니다. ◻
그러면 자연스럽게 나쁜 점의 개수를 세는 것이 다음 목표가 됩니다.
Claim 2.S의 원소 중 나쁜 점은 최대 1개이다.
pf. 아니라 가정하고, S의 두 나쁜 점 A,B와 이들을 지나는 직선 l을 잡습니다. 직선 l은 A에 의해 두 부분으로 나뉘게 되는데, B가 포함된 부분을 '뒤', 포함되지 않은 부분을 '앞'이라 정의하겠습니다. 이제 A를 중심으로 l을 회전시켜 보겠습니다. 나쁜 점의 정의에 따라 l은 S의 또 다른 점을 지나는 임의의 순간에 평면을 정확히 n개씩 분할해야 합니다. 이렇게 되기 위해서는, l을 회전하는 과정에서 S의 원소들이 l의 앞과 뒤에 번갈아가며 닿아야 합니다. (직접 그려보시면 쉽게 알 수 있습니다) 이 성질이 B에 대해서도 똑같이 성립해야 하는데, 이 과정에서 모순이 발생합니다.
l을 A를 중심으로 시계방향으로 회전했을 때 처음으로 l의 앞과 닿는 점을 P라 합시다. (B가 l의 뒤에 있으므로 그 다음은 앞에서 만나야 합니다) 이제 l을 B를 중심으로 시계방향으로 회전시킬 때 처음 만나는 점 Q가 존재하는데, A가 B에 대해서 '앞'에 있었으므로 Q는 B에 대해서 '뒤'에 있어야 합니다. 하지만 P의 정의상 색칠된 영역에는 S의 원소가 존재할 수 없으며, Q의 정의에 따라 Q는 무조건 색칠된 영역에 들어가게 되어 모순입니다. ◻
따라서 나쁜 점은 최대 1개이며, |S|−1개 이상의 나머지 점들은 각각 적어도 2개 이상의 약한 균등 직선을 가집니다. 이를 일종의 그래프로 생각하면(두 점을 이은 직선이 약한 균등 직선일 경우 변으로 연결합니다), 모든 점의 차수가 2 이상이므로 변의 개수가 |S|−1개 이상임이 보장됩니다. 따라서 약한 균등 직선은 적어도 |S|−1개 이상 존재합니다.
실례는, 정2023각형과 중심으로 구성된 집합입니다. ◼
#4.다음 조건을 만족하는 최고차항의 계수가 1인 k차 정수 계수 다항식 f(x)가 존재하는 가장 작은 양의 정수 k(≥2)를 구하여라.
(조건) 임의의 두 정수 m,n에 대하여, f(m)−f(n)이 31의 배수이면 m−n은 31의 배수이다.
답.7
풀이. p=31로 둡시다. f(x)=x7이 성립하므로, 6 이하의 차수에 대해서만 확인해보면 됩니다. (7과 p−1이 서로소이므로, x를 원시근의 거듭제곱으로 표현했을 때 모든 수를 표현합니다.)
f(Zp)=Zp을 반증하는 가장 간단한 방법은 불변량을 이용하는 것입니다.
단순히 함수들을 더한다고 생각하면, p−1∑i=0xk의 값이 필요합니다.
Lemma.p−1∑i=0xk≡{0k∣p−1−1k∤p−1
pf. 모든 원소들을 원시근의 거듭제곱으로 표현하면 등비급수로 계산 가능합니다. ◻
이를 이용하면 k∣p−1일 때는 p−1∑i=0f(i)p−1k를 계산하여 모순을 쉽게 보일 수 있습니다. 남은 경우인 4차 함수는 조금 더(?) 잘해주면 됩니다.
적당한 평행이동을 통해 f(x)=x4+ax2+bx로 둡시다. 이때 p−1∑i=0f(i)8과 p−1∑i=0f(i)9을 계산해 x30의 계수를 보면 a,b가 p의 배수임을 확인할 수 있습니다. f(x)=x4은 당연히 모순입니다. ◼
#5. 임의의 양의 실수 a1,a2,⋯,a99에 대하여 부등식
99∑k=1ak+1ak+ak+1+ak+2<M
을 만족하는 가장 작은 실수 M을 구하여라. (단, a100=a1,a101=a2)
답.49
풀이. 실례는 0과 1을 번갈아 배치하면 됩니다.
계산값이 크기의 대략 절반이니, 항을 두 개씩 묶어보면 다음과 같은 관찰을 할 수 있습니다.
#6.양의 정수 n에 대하여 f(n)을 n 이하의 양의 정수 중 n과 서로소인 것의 개수라 하자. 예를 들어, 10과 서로소인 10 이하의 양의 정수는 1,3,7,9이므로 f(10)=4이다. 양의 정수 n에 대하여 g(n)=⌊2024n⌋라 할 때, 다음 식의 값을 구하여라. (단, ⌊a⌋는 a를 넘지 않는 최대 정수)
2024∑n=1(1−(−1)g(n))f(n)
답.2⋅20122
풀이 1. 앞항을 간단히 정리해봅시다. 결국 g(n)이 홀수일 때만 살아남으므로, g(n)을 2로 나눈 나머지로 표현할 수 있습니다. 정확히, (1−(−1)g(n))=2(g(n)−2⌊g(n)2⌋)=2(⌊2024n⌋−2⌊1012n⌋)입니다. (*)
그런데 2024∑n=1⌊2024n⌋ϕ(n)=2024∑n=1∑n∣mϕ(n)=2024∑m=1∑n∣mϕ(n)=2024∑m=1m입니다.
비슷하게, 2024∑n=1⌊1012n⌋ϕ(n)=1012∑m=1m입니다. 이를 대입하면 답이 나옵니다. ◼
(*) ⌊⌊np⌋q⌋=⌊npq⌋가 성립합니다.
풀이 2. 이렇게도(?) 풀 수 있습니다. 곱산술함수의 특성을 이렇게까지도 이용해볼 수 있습니다.
Fact.h(n)=(−1)n−1은 곱산술함수입니다. 또한, 뫼비우스 반전함수 H(n)={1n=1−2n=20n≥3 입니다.
pf. 첫번째는 자명하고, 뫼비우스 반전 H가 곱산술함수라는 사실을 이용해 소수의 거듭제곱에 대해서만 계산하면 됩니다. ◻
따라서 계산을 계속하면, 준식은
22024∑k=1Sid(⌊2024k⌋)H(k)
=2Sid(⌊20241⌋)−4Sid(⌊20242⌋)
=21012∑k=1((k+1012)−k)=2⋅20122
입니다. ◼
#7. 예각삼각형 ABC의 수심을 지나고 점 A를 지나지 않는 직선 l이 직선 BC와 점 P(≠B,C)에서 만나고, 점 A를 지나고 l과 수직인 직선이 삼각형 ABC의 외접원과 점 R(≠A)에서 만난다. 점 A,B에서 l에 내린 수선의 발을 각각 A′,B′이라 하고, 점 A′을 지나고 직선 BC와 수직인 직선을 l1, 점 B′을 지나고 직선 CA와 수직인 직선을 l2라 하자. 두 직선 l1과 l2의 교점을 l에 대하여 대칭시킨 점을 Q라 할 때, ∠PQR=90∘임을 보여라.
풀이.
직선 AA′과 BC의 교점을 T라 하겠습니다. 각 계산을 해보면
∠QB′A′=∠Q′B′A′=∠A′AC=∠RBT
∠QA′B′=∠Q′A′B′=90∘−∠P=∠RTB
이므로 △QB′A′∼△RBT(AA)입니다.
여기서 BB′∥TA′이므로 B′A′/B′P=BT/BP이고, 따라서 △B′QP∼△BRP가 성립합니다.
나선 닮음의 성질에 따라 △PBB′∼△PRQ이고, ∠PQR=∠PB′B=90∘입니다. ◼
(참고) 이렇듯 적절한 닮음을 찾아 비례 관계나 나선 닮음으로 확장시키는 아이디어가 계속 출제되고 있습니다.
#8. 칠판에 10개의 수 1,2,⋯,10이 적혀있고, 나현이는 다음과 같은 시행을 반복한다.
(시행) 칠판에 적혀있는 10개의 수 중 서로 약수와 배수의 관계가 아닌 두 수를 골라 지우고 이 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 칠판에 적는다.
칠판에 적혀있는 10개의 수 중 임의의 두 수가 약수와 배수의 관계를 이루면 이 시행은 그만둔다. 나현이는 위의 시행을 최대 몇 번 할 수 있겠는가?
답. 18
풀이. 먼저 서술의 편의를 위해 여러가지를 정의하도록 하겠습니다. 일단 각 수를 소인수분해 시 2,3,5,7의 지수로 이루어진 네 수의 순서쌍으로 표현하겠습니다. (ex. 12=(2,1,0,0)) 이 수들을 모아 4×10 표에 정리하도록 하겠습니다. 이때 아래(4행)에서부터 7,5,3,2의 지수입니다. 또한, 10개의 수들을 사전 순으로 정렬하겠습니다. 즉 7의 지수, 5의 지수, 3의 지수, 2의 지수 순으로 커지게 정렬합니다. 그 결과는 아래와 같습니다.
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
2
0
0
0
0
1
2
3
0
1
0
0
1
0
(1열부터 10열까지 각각 1,2,4,8,3,6,9,5,10,7을 나타냅니다)
어떤 순서쌍 a가 b를 majorize한다는 것은, a의 모든 성분이 b의 성분보다 크거나 같음을 의미합니다. 본문에 있는 "약수와 배수의 관계"가 이에 해당됩니다. 시행을 할 경우, 두 열을 골라 왼쪽 열에는 최대공약수, 오른쪽 열에는 최소공배수를 적습니다. 이때 최대공약수는 두 순서쌍의 최솟값, 최소공배수는 두 순서쌍의 최댓값 연산으로 계산합니다. (이때 수들의 정렬 관계는 오로지 초기 상태를 위한 것이며, 시행 과정에서 정렬은 얼마든지 깨질 수 있습니다)
아래에서부터 k개의 행만 선택해 사전순 정렬한 표를 k차 표라 정의하겠습니다. 예를 들어 3차 표에서 게임을 진행한다는 것은 7의 지수를 무시하고 연산을 하겠다는 뜻입니다. 또한 k차 표에서 두 개의 열을 골라 시행을 하려 할 때, 만약 두 열의 하위 k−1개 성분이 majorize 관계이면 이를 (k−1)-majorize 관계, 아닐 경우 not (k−1)-majorize 관계라 정의하겠습니다. 예를 들어 9열과 10열을 3-majorize 관계입니다((1,0,1)>(0,0,0)).
이때 다음 성질들이 성립합니다.
중간 시행 과정과 무관하게, 최종 시행 결과는 열들을 잘 재배열했을 때 각 행이 정렬된 상태이다.
4차 표에서 10열과 나머지 간의 시행은 최대 6번이다.
3차 표에서 8,9열과 나머지 간의 시행은 최대 7번이다.
4차 표에서 게임을 진행할 때, (10열을 제외한 열끼리의 시행 횟수) + (10열과 나머지 열 간의 not 3-majorize 시행 횟수) ≤ (3차 표에서의 최대 시행 횟수)이다.
3차 표에서 게임을 진행할 때, (8,9열끼리 혹은 나머지 열끼리의 시행 횟수) + (8,9열과 나머지 열 간의 not 2-majorize 시행 횟수) ≤ (2차 표에서의 최대 시행 횟수)이다.
2차 표에서 가능한 시행 횟수는 최대 8번이다.
하나씩 증명해봅시다.
1. 시행을 할 때마다 각 행 별로 inversion 수가 감소하므로, 결국에는 모든 행이 정렬된 상태로 종료되어야 합니다. ◻
2. 4차 표에서의 10열과 다른 열을 교환할 경우, 10열이 이미 7의 지수가 앞서므로 뒤쳐지는 지수도 존재해야 합니다(두 열이 majorize 관계에 있지 않아야 하기 때문입니다). 시행 결과 10열의 아래 세 성분 중 적어도 한 항은 증가하게 됩니다. 10열에는 무조건적으로 최소공배수만 쓰이므로, 1번에 따라 10열의 최종 상태는 (1,1,2,3)입니다. 아래 세 성분의 합이 0에서 6으로 변하므로, 최대 6번만 선택됩니다. ◻
3. 2번과 마찬가지로 증명할 수 있습니다. 3차 표에서 8,9열은 (1,0,0),(1,0,1)에서 (1,1,2),(1,2,3)으로 변하게 됩니다. 성분의 합의 차이를 보면 최대 7번입니다. ◻
4. 4차 표에서 게임을 진행할 때 아래 세 행이 어떻게 변하는지 살펴봅시다. 10열을 제외한 열끼리 시행하는 경우에는, 7의 지수가 둘 다 0이므로 3차 표에서 시행하는 것과 완전히 동일합니다. 10열을 선택하여 시행하는 경우에는, not 3-majorize인 경우에만 3차 표에서 유의미한 시행이 됩니다. 또한, 4차 표에서 게임이 종료되었을 때에는 3차 표에서 또한 더 이상 시행을 할 수 없는 상태가 됩니다. (∵ not-majorize 관계의 두 열은 성분을 확장해도 not-majorize 관계입니다) 따라서 4번의 부등식이 성립합니다. ◻
5. 3차 표에 대해서 4번의 논리를 똑같이 적용하면 됩니다. ◻
6. 어차피 선택되지 않는 (0,0)을 제외하고 2차 표는 다음과 같이 구성됩니다.
0
0
0
0
1
1
2
1
1
2
3
0
1
0
아래 행은 결과적으로 0,0,1,1,1,2,3으로 정렬되어야 합니다. 위 행의 값에 따라 열들을 세 그룹으로 나누면, 시행 시 첫번째 그룹은 항상 아래 행의 숫자가 감소하며 마지막 그룹은 항상 아래 행의 숫자가 증가합니다. 첫번째 그룹은 아래 행 숫자의 합이 5만큼 감소해야 하고, 세번째 그룹은 아래 행 숫자의 합이 3만큼 증가해야 합니다. 따라서 최대 8번의 시행이 가능합니다. ◻
이 사실들을 이용하면, 먼저 4번에 의해
(4차 표 시행 횟수)= (10열을 제외한 열끼리의 시행 횟수)+ (10열과 나머지 열 간의 시행 횟수)
≤ (10열과 나머지 열 간의 3-majorize 시행 횟수)+ (3차 표에서의 최대 시행 횟수)입니다.
5번에 의해
(3차 표 시행 횟수)= (8,9열끼리 혹은 나머지 열끼리의 시행 횟수) + (8,9열과 나머지 열 간의 시행 횟수)
≤ (8,9열과 나머지 열 간의 2-majorize 시행 횟수) +(2차 표에서의 최대 시행 횟수)입니다.
따라서 (10열과 나머지 열 간의 3-majorize 시행 횟수)을 N1, (8,9열과 나머지 열 간의 2-majorize 시행 횟수)를 N2, (2차 표에서의 최대 시행 횟수)를 N3, (4차 표 시행 횟수)를 N이라 하면
N≤N1+N2+N3
입니다. 2번에 의해 N1≤6, 3번에 의해 N2≤7, 6번에 의해 N3≤8이므로 N≤21입니다.
이제 실례를 찾아봅시다. 가장 간단하게 생각할 수 있는 실례는 아래 행부터 순서대로 정렬하는 것입니다. 그런데 이렇게 해보면 21번이 나오지 않고, 18번 정도에서 종료됩니다. 어떻게 해봐도 시행 횟수가 더 늘어나지 않아서, 부등식의 상한을 조금 더 낮춰보기로 했습니다. 각 부등식의 등호조건은 성분들의 합이 1씩 증가할 때 성립하는데, 실제로 18번의 실례를 살펴보면 그렇지 않음을 알 수 있습니다. 따라서 다음을 보여봅시다.
Claim 1.N1≤4
pf.10열의 아래 세 성분은 (0,0,0)에서 (1,2,3)까지 커져야 합니다. 이때 majorize한 시행을 통해 성분이 변한다면, 모든 성분이 단조증가해야 합니다. 그러므로 등호조건에 따라 정확히 한 성분만 1 커질려면, 나머지 성분은 일치해야 합니다. 이는 곧 나머지 두 성분은 표 상에서 2개 이상 존재해야 한다는 뜻이 됩니다. (예를 들어 (1,0,1)이 (1,0,2)로 변하려면, 2행과 3행에 각각 1과 0이 2개 이상 존재해야 합니다) 그런데 2행에는 2가, 3행에는 2와 3이 하나씩 밖에 없습니다. 따라서 10열의 아래 세 성분 중 어느 한 성분이 1보다 커지는 순간 더 이상 majorize한 시행이 아니게 됩니다. 이는 성분 합이 최대 4까지 커질 수 있다는 의미이며, 따라서 N1≤4입니다. ◻
Claim 2.N2≤6
pf.비슷한 이유로 성립합니다. N2=7, 즉 모든 변화가 majorize하며 정확히 1씩 증가한다 가정하고 최종 상태에서 역산해보면 금방 모순이 도출됩니다. ◻
따라서 N≤4+6+8=18입니다.
실례는 쉽게 생각해서 아래 행부터 정렬하면 됩니다. 정확한 실례는 처음 표를 기준으로 다음 열을 순서대로 시행하면 됩니다.