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2024 KMO 고등부 2차 풀이 #1. 중심이 $O$인 원 위에 서로 다른 세 점 $A$, $B$, $X$가 있고 세 점 $A$, $B$, $O$는 한 직선 위에 있지 않다. 삼각형 $ABO$의 외접원을 $\Omega$라 할 때, 선분 $AX$, $BX$는 원 $\Omega$와 각각 점 $C(\ne A)$, $D(\ne B)$에서 만난다. 점 $O$가 삼각형 $CXD$의 수심임을 보여라. 풀이. $\angle OCX=\angle ABO=90^\circ - \angle X$이므로 $CO\perp DX$, 마찬가지로 $DO\perp CX$입니다.따라서 $O$는 $\triangle CXD$의 수심입니다. $\blacksquare$ (참고) $AB$와 $CD$가 antiparellel 관계이므로, $O$는 $\triangle ABX$의 외심인..
2024 FKMO Day 1 풀이 #1. 양의 홀수 $a,b,c,d$에 대하여, 이 중 어느 두 개를 골라도 서로소라고 하자. 양의 정수 $n$에 대하여$$f(n)=\left[ \frac{n}{a}\right]+ \left[ \frac{n}{b}\right]+ \left[ \frac{n}{c}\right]+ \left[ \frac{n}{d}\right] $$이라 할 때, 다음 등식을 증명하여라. (단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 가장 큰 정수)$$\sum_{n=1}^{abcd}(-1)^{f(n)}=1$$ 풀이. 지수의 기우성이 변하지 않는 범위에서 자유롭게 식 변형을 할 수 있습니다.$$ \sum_{n=1}^{abcd}(-1)^{f(n)} = \sum_{n=1}^{abcd}(-1)^{ \left[ \frac{n}{a}\right]+..
2023 KMO 고등부 2차 풀이 1. 양의 실수 수열 $\{ a_n \} $이 다음과 같이 정의된다.$$ a_0=1, a_1=3, a_{n+2}=\frac{a_{n+1}^2+2}{a_n}(n\geq 0)$$모든 음이 아닌 정수 $n$에 대해 $a_n$은 양의 정수임을 보여라. 풀이. 작은 항들을 계산해보면 $a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$임을 추측해볼 수 있습니다. 이런 선형 점화식으로 수열 $\{ a_n \}$을 정의했을 때 조건식을 만족함을 보이면 충분합니다. 이는 다음과 같은 식 정리로 쉽게 알아낼 수 있습니다. $\blacksquare$$$\frac{a_{n+2}+a_n}{a_{n+1}}=4=\frac{a_{n+3}+a_{n+1}}{a_{n+2}}$$ 2. 집합 $A_0, A_1, \cdots, A_{2023}$이 다음 ..
2023 FKMO Day 1 풀이 여유가 생기면 풀어보려 했는데, 결국 종강 이후 풀어보게 되었습니다.  1. $AB 풀이. 나선닮음을 쉽게 생각해볼 수 있다.삼각형 $ABC$의 외접원과 $ADE$의 외접원의 교점을 $T$라 하면, $\triangle TDB \sim \triangle TEC \sim \triangle TYX$이다.선분 $DB$, $EC$, $YX$의 중점을 각각 $M, N, K$라 하면, 닮음비에 따라 $\triangle TDM$, $\triangle TEN$, $\triangle TYK$도 닮음이다.따라서 $\angle DMT=\angle ENT=\angle YKT$이며, 이는 $(A, M, N, K, T)$가 한 원 위에 있음을 뜻한다.이때 $\angle AMP=\angle ANP = 90^\circ$이므로 $AP$..
2023 FKMO DAY2 풀이 2023년 3월 26일 시행된 2023 FKMO DAY2에 대한 해설이다. 4. 다음 조건을 만족하는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.    (조건) $2^n-1$은 $7$보다 큰 소인수를 갖지 않는다. 풀이. 위 문제를 해결하기 위해서는 $2^n-1$ 꼴의 수가 충분히 큰 소인수를 가진다는 것을 설명해야 한다. 이와 관련된 유명한 성질이 있다. Claim. 소수 $p$에 대해 $2^p-1$의 소인수는 $pk+1$ 꼴이다.pf. $2^p-1$의 각 소인수 $q$에 대한 위수 $r$을 생각해 보았을 때, $2^p-1$이 $q$로 나누어 떨어지므로 지수인 $p$가 $r$로 나누어 떨어져야 한다. 따라서 $r$은 $1$ 또는 $p$이며, 자연스럽게 $r=p$임을 알 수 있다. 이때 $2^{q-1}-1$ 또한..

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